La géométrie de position

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9782705669379: La géométrie de position
Extrait :

La " Géométrie der Lage" de von Staudt

Karl Georg Christian von Staudt est surtout connu pour ses travaux en géométrie projective et ses contributions à l'étude arithmétique des nombres de Bernoulli (théorème de Staudt-Clausen). Il publie en 1847 un premier traité, Geometrie der Lage dans lequel il se propose de présenter ce qu'il appelait la géométrie de position comme une science autonome, c'est-à-dire indépendante de toute considération de mesure. Arthur Schönflies, dans sa présentation de la géométrie synthétique pour V encyclopédie des sciences mathématiques, introduit le traité de von Staudt dans un paragraphe intitulé «la géométrie projective établie, avec Staudt, sur des bases indépendantes de la géométrie métrique». Schönflies résume Geometrie der Lage en précisant que si à la fin du 19e siècle, certains de ses développements peuvent poser des problèmes, les théories de Staudt conserve un intérêt certain :

K. G. Chr. von Staudt s'est proposé de développer toutes les idées de la géométrie projective sans recourir en rien aux notions métriques d'angles et de distances ni, par conséquent, à l'idée capitale de rapport anharmonique. Il a donné de ce problème une solution qui pouvait être regardée comme irréprochable à son époque, où les axiomes fondamentaux de la géométrie n'avaient pas encore été, comme aujourd'hui, soumis à une discussion approfondie, et qui, malgré quelques lacunes, n'en donne pas moins les points essentiels d'une solution rigoureuse.

Comme le signale Schönflies, le traité de von Staudt s'inscrit dans le contexte des mathématiques de la première moitié du 19e siècle. La discussion sur les axiomes de la géométrie sera en partie initiée plus de vingt ans après par Félix Klein à partir de ce qu'il appelle la «lacune» de Staudt. L'ambition de von Staudt, à son époque, est de parfaire l'entreprise de ces prédécesseurs et en particulier celles de Poncelet et Steiner de doter la géométrie synthétique de méthodes aussi puissantes que la géométrie analytique. En effet, dans la préface, s'il reconnaît que ceux-ci ont oeuvré à bien différencier la géométrie de position et la géométrie métrique, il regrette néanmoins que «des théorèmes, dans lesquels il n'est pas question de grandeur, soient démontrés habituellement par des considérations de rapports». La définition de la notion de relation projective entre formes fondamentales donnée par Steiner à partir de la conservation du birapport est ici directement visée. Von Staudt proposera de définir la notion de forme harmonique de manière purement incidente en utilisant le théorème du quadrilatère complet et de caractériser les relations projectives entre formes fondamentales à partir de la conservation de l'harmonicité. Le point de vue proposé par von Staudt sera repris au moins en Allemagne comme l'exprime F. Pietzker dans son article sur l'enseignement mathématique en Allemagne :

[...] la force attractive extraordinaire qu'exerça Berlin eut pour effet que le savant géomètre suisse Jacob Steiner choisit cette ville comme domicile permanent. [...] Un grand nombre de jeunes mathématiciens a subi son influence à Berlin, mais le sort de fonder une école berlinoise de Géométrie ne lui échut point. Après sa mort, le centre principal de l'étude de la Géométrie constructive systématique, qu'il avait en quelque sorte créée, se déplaça en d'autres lieux. L'influence prépondérante qu'exerça surtout, après lui, von Staudt sur le développement de la Géométrie se fit ailleurs qu'à Berlin.

Présentation de l'éditeur :

Géométrie der Lage de von Staudt est une tentative d'exposer la géométrie pure sans faire appel à aucune notion de quantité. Cet ouvrage constitue donc une rupture avec les approches de Poncelet, Steiner ou Chasles. Par exemple, la notion de forme harmonique est définie de manière purement incidente.

Le développement de von Staudt s'appuie sur l'étude des correspondances projectives des formes fondamentales définies comme les transformations géométriques qui conservent l'harmonicité. Toutes les notions et théorèmes classiques (polarité, dualité, coniques, surface du second degré,...) de la géométrie projective en découlent.

De manière plus surprenante pour un lecteur contemporain des traités de géométrie projective, on trouvera aussi dans Géométrie der Lage une astucieuse et rigoureuse démonstration de la formule d'Euler.

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