Topologie et analyse fonctionnelle

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9782705683511: Topologie et analyse fonctionnelle
Extrait :

A - Axiomes de la théorie des ensembles

Les axiomes de Zermelo-Fraenkel

Ce chapitre est un exposé élémentaire de la théorie axiomatique des ensembles ; la construction d'une théorie mathématique, telle que la théorie des ensembles, s'effectue selon des règles très précises ; un exposé systématique de ces règles ne saurait trouver leur place ici, vu les objectifs de ce cours. Nous allons nous contenter de quelques remarques assez naïves.
La construction d'une théorie mathématique T utilise des lettres et des signes. Les lettres représentent des objets ou des relations ; dans chaque théorie, les objets reçoivent des appellations particulières : par exemple, en théorie des ensembles les objets sont appelés ensembles, éléments, parties, applications, etc. Les signes comportent des signes logiques et des signes spécifiques à la théorie étudiée. Il y a trois signes logiques de base (non, ou, 3) et deux signes spécifiques à la théorie des ensembles (=, €). En écrivant les uns à la suite des autres des lettres et des signes, on construit des assemblages. Ces assemblages ne doivent pas être construits de façon quelconque ; on ne s'intéresse qu'aux assemblages qui, dans l'interprétation naïve de la théorie, représentent soit des objets, soit des relations. En d'autres termes, il faut décrire les constructions qui sont autorisées et il faut donner des règles permettant de reconnaître si un assemblage est un objet ou une relation. Ces règles ne sont que des règles de syntaxe, permettant de dire si ce que l'on écrit a, ou n'a pas, de sens ; vu nos objectifs, il ne nous semble pas utile d'expliciter ces règles, l'expérience et le bon sens étant en général suffisants.

Présentation de l'éditeur :

Dans le premier chapitre de cet ouvrage, Claude Wagschal présente la théorie des ensembles (axiomatique de Zemelo-Fraenkel) avec pour objectif essentiel de fixer les notations et d'établir le lemme de Zorn. Les deux autres chapitres (topologie et espaces localement convexes) forment le coeur de son propos : les outils et les résultats exposés constituent les bases mêmes de tout enseignement de l'Analyse. Ces théories développent des méthodes qui, bien souvent, ont été élaborées lors de la résolution de problèmes issus de la physique.
Près de 400 exercices (corrigés) sont proposés au cours de l'exposé. Un soin tout particulier a été apporté à leur rédaction pour guider l'étudiant dans la recherche de leur solution. Certains ne sont que des applications directes de résultats généraux et permettent au lecteur de tester sa compréhension. D'autres présentent des exemples concrets d'applications ou constituent des développements plus élaborés n'ayant pas trouvé leur place dans le texte principal.

Claude Wagschal est Docteur d'État ès-Sciences Mathématiques et Professeur des Universités émérite. Ses recherches portent sur les équations aux dérivées partielles, la propagation des singularités dans le domaine complexe, les problèmes de Goursat, les problèmes fuchsiens dans l'holomorphe et les espaces de Gevrey.

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Claude Wagschal
Edité par Editions Hermann (2012)
ISBN 10 : 2705683518 ISBN 13 : 9782705683511
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