L'Analyse Algébrique un Épisode Clé de l'Histoire des Mathématiques

 
9782729883942: L'Analyse Algébrique un Épisode Clé de l'Histoire des Mathématiques
Extrait :

Chapitre I

FÉCONDITÉS ET FAIBLESSES D'UN NOUVEAU CALCUL

En 1684 Leibniz rend publiques les règles de son calcul différentiel dans un article publié à Leipzig par la toute nouvelle revue des Acta Eruditorum. Il s'agit d'un article bref exposant rapidement la notation des différentielles, leur mode d'emploi et leur usage pour la détermination des tangentes ou des maxima. La diffusion du nouveau calcul va se réaliser lentement ; elle se fera d'abord par des écrits ponctuels que Leibniz lui-même va continuer à livrer et par les développements apportés par ses disciples, essentiellement les deux frères Jacques Bernoulli et Jean Bernoulli. En 1696, à Paris, est publié un premier exposé systématique du nouveau calcul : L'analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, réalisé par Guillaume de l'Hospital et largement inspiré des leçons que l'auteur a reçues de Jean Bernoulli. Il ne contient aucun élément de calcul intégral, mais il traite de nombreux problèmes géométriques relevant directement du calcul différentiel (tangentes, points de rebroussement, points d'inflexion, développées, caustiques...) et il montre que les méthodes leibniziennes permettent d'étudier les courbes transcendantes (logarithmique, spirales, cycloïdes...).

Cependant le nouveau calcul est loin de rencontrer une adhésion unanime. À Paris une opposition se manifeste au sein de l'Académie des Sciences. Par des articles qu'il donne au Journal des Sçavans et par des mémoires à l'Académie, Michel Rolle est l'un des porte-parole les plus actifs des opposants. Les problèmes soulevés concernent les résultats obtenus : le nouveau calcul serait inutile parce que les méthodes anciennes permettraient d'obtenir les résultats dont se prévalent les inventeurs ; pire, il conduirait à des erreurs et Rolle donne un exemple de courbe où, selon lui, des minima correspondant à des points de rebroussement, ne peuvent être mis en évidence par le calcul différentiel.

Mais surtout, Rolle met en cause le statut des différentielles et l'usage des infiniment petits. Dans le traité de L'Hospital, la différentielle (alors appelée différence) est la portion infiniment petite dont une quantité augmente ou diminue continuellement [p. 2] ; d'autre part l'une des demandes explicitées au début du traité est que l'on puisse prendre l'une pour l'autre deux quantités qui ne diffèrent entre elles que d'une quantité infiniment petite [p. 3]. Rolle objecte qu'avec de tels énoncés on est amené à considérer - au mépris de toute logique - que la partie est égale au tout ; et dans les calculs, les différentielles sont prises tantôt comme des zéros absolus, tantôt comme des quantités non nulles. La nécessité d'introduire les différentielles d'ordre supérieur fragilise encore plus l'édifice ; ainsi les différentielles d'ordre deux sont les quantités infiniment petites dont croissent les différentielles d'ordre un (lesquelles sont déjà des infiniment petits). Et Rolle refuse cette hiérarchie des infinis dont il met en doute l'existence.

Pierre Varignon s'est rangé dans le camp des défenseurs du calcul leibnizien. À l'été 1697, une des ses lettres à Jean Bernoulli témoigne de la vigueur de la polémique

M. le Marquis de l'Hospital est encore à la campagne de sorte que je me trouve seul ici chargé de la défense des infiniment petits, dont je suis le vray martyr tant j'ay desja soutenu d'assauts pour eux contre certains mathématiciens du vieux stile, qui chagrins de voir que par ce calcul les jeunes gens les attrapent et même les passent, font tout ce qu'ils peuvent pour la décrier... [Johann Bernoulli 1988, p. 124]

(...)

Présentation de l'éditeur :

D'où nous viennent les notions de fonction dérivée ? de primitive ? Comment s'est répandu l'usage des notations f ', f '', ... pour représenter les dérivées successives ? Quels résultats pouvait-on obtenir en manipulant des sommes infinies sans se préoccuper de leur convergence, comme c'était souvent le cas au XVIIIe siècle ? De quels moyens disposait-on pour faire face aux problèmes issus de la physique mathématique naissante ? À quelle occasion les termes commutatif ou distributif qui faisaient partie du vocabulaire juridique et moral ont-ils été introduits en mathématiques ? Pour répondre à toutes ces questions il faut lire des auteurs illustres comme Euler ou Lagrange, mais aussi bien d'autres, souvent méconnus tels Arbogast, Brisson ou Servois. Cet ouvrage permet un contact avec les textes originaux, il s'adresse à toute personne intéressée par la culture scientifi que : étudiant, enseignant, formateur, amateur curieux de comprendre le développement des idées en mathématiques... Une mise en perspective générale, des introductions et des commentaires sont là pour situer le contexte, lever les principales difficultés, signaler les enjeux. Les errements et les incertitudes sont examinés avec précision, ils rendent manifestes quelques-uns des obstacles qu'il a fallu surmonter pour aboutir à l'analyse mathématique que nous connaissons aujourd'hui.

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Jean-Pierre Friedelmeyer; Jean-Pierre Lubet
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