Simulation stochastique et méthodes de Monte-Carlo

 
9782730215824: Simulation stochastique et méthodes de Monte-Carlo
Présentation de l'éditeur :

Cet ouvrage présente des méthodes probabilistes numériques de simulation et leurs vitesses de convergence. Avec une grande originalité, il allie rigueur mathématique et développements numériques, chaque méthode proposée s'inscrivant dans un contexte théorique précis développé de manière rigoureuse et auto-suffisante. Il s'adresse aussi bien à des étudiants ou élèves de grandes écoles ayant un bon niveau Master 1 en théorie des probabilités, qu'à des ingénieurs ou scientifiques recherchant une solide base théorique pour développer ou mettre en oeuvre des algorithmes ambitieux de simulation de processus stochastiques.

Après des rappels sur la loi des grands nombres et les bases élémentaires de la simulation probabiliste, les auteurs introduisent les martingales et leurs principales propriétés. Ils développent ensuite un chapitre sur les estimations non asymptotiques des erreurs des méthodes de Monte-Carlo ; ce chapitre rappelle le théorème limite central et précise sa vitesse de convergence, introduit les inégalités de Log-Sobolev et de concentration dont l'étude s'est énormément développée ces dernières années, et se termine par des techniques de réduction de variance.

Pour pouvoir démontrer rigoureusement les résultats sur la simulation de processus stochastiques, les auteurs introduisent ensuite les notions fondamentales de probabilités et de calcul stochastique, notamment les bases essentielles du calcul d'Itô, adaptées à chaque méthode numérique proposée. Ils étudient successivement la construction et les propriétés importantes du processus de Poisson, des processus de Markov de saut et déterministes par morceaux (liés aux équations de transport), et des solutions d'équations différentielles stochastiques. Les méthodes numériques sont alors développées, et les résultats de vitesse de convergence des algorithmes sont rigoureusement démontrés. Au passage, les auteurs décrivent les fondements de l'interprétation probabiliste des équations aux dérivées partielles paraboliques. Des applications non triviales à de véritables problèmes appliqués sont également développées.

Carl Graham est chercheur CNRS et professeur chargé de cours à l'École Polytechnique. Ses recherches portent sur la modélisation stochastique, notamment pour l'interprétation et la simulation des équations non-linéaires de la physique statistique et pour les réseaux de communication et leur algorithmique.

Denis Talay est directeur de recherche à l'Inria, où il dirige l'équipe-projet Tosca, et professeur chargé de cours à l'École Polytechnique. Ses recherches portent sur la modélisation stochastique, les liens entre l'analyse stochastique et les équations aux dérivées partielles, et les probabilités numériques.

Extrait :

Extrait de l'introduction

Pourquoi des modèles et des simulations aléatoires ?

Les probabilités sont nées de l'étude des jeux de hasard et de leurs propriétés remarquables
: il s'agissait de construire un modèle mathématique rendant compte, par exemple, de la convergence des fréquences empiriques de pile vers 1/2 au cours d'un jeu équitable de pile ou face, ainsi que d'apparitions arbitrairement longues de séries de pile, et de phénomènes de fluctuations autour de la moyenne apparemment universels quel que soit le jeu de hasard considéré. Pour modéliser les jeux et calculer les gains moyens, les risques de grandes pertes, etc., il a suffi de savoir définir des lois de probabilité sur des ensembles finis. Par contre, pour analyser les phénomènes de fluctuations, mais aussi pour modéliser les erreurs de mesure, il a fallu construire des lois de probabilités sur des espaces de dimension finie de type Rd. C'est encore insuffisant pour des besoins apparus au début du vingtième siècle : pour modéliser des quantités continues évoluant en temps continu (par exemple, pour modéliser l'historique en temps continu d'un cours boursier ou d'une température), il faut construire des probabilités sur des espaces fonctionnels de dimension infinie appropriés. On conçoit aisément qu'une définition mathématique rigoureuse de «tirer au hasard une fonction» pose quelques difficultés techniques, et qu'il en est de même pour réaliser sur ordinateur un tel tirage.
Le but de ce cours est de présenter :
- quelques exemples de construction de lois de probabilité sur l'espace des fonctions continues ou continues par morceaux ;
- quelques algorithmes de simulation correspondants, ainsi que des estimations théoriques des erreurs de simulation ;
- quelques applications qui motivent les deux points précédents.
Les applications que nous étudierons sont représentatives des situations où l'on fait appel aux modèles probabilistes. Nous insistons sur deux points importants mais parfois mal compris dans la littérature.

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Carl Graham; Denis Talay
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