Algèbre : Tome 1, Groupes, corps et théorie de Galois

 
9782868839749: Algèbre : Tome 1, Groupes, corps et théorie de Galois
Extrait :

Extrait de l'avant-propos :

La très longue histoire de l'étude des nombres, puis des équations, a permis de remarquer des analogies entre certaines propriétés vérifiées par des objets ma­thématiques de natures différentes, par exemple, les nombres et les polynômes. Cela a conduit les mathématiciens, en particulier au XIXe siècle, à tenter de dégager une axiomatique qui rende compte des raisons profondes de ces analogies. Il est alors apparu que ces objets, de natures différentes, possédaient les mêmes «structures» algébriques, par exemple, groupe, espace vectoriel, anneau, etc.
Il devint alors évident qu'il était plus efficace d'étudier ces structures pour elles-mêmes, indépendamment de leurs réalisations concrètes, puis d'appliquer les résultats obtenus dans les divers domaines que l'on considérait antérieurement.

L'algèbre «abstraite» était née.

La notion de groupe (chapitres I à VII) est apparue dans l'étude des équations. Elle a notamment permis d'apporter, via la théorie de Galois (chapitre XIV), une réponse définitive à la non résolubilité, par radicaux, des équations polynomiales de degré supérieur ou égal à cinq (chapitre XVI).
Ensuite, l'introduction des groupes en géométrie a été à l'origine de développements féconds, qui ont complètement modifié l'essence même de cette discipline ancestrale. Dans un premier temps, ils sont intervenus comme groupes de dépla­cements dans l'espace euclidien pour affiner l'étude des figures classiques. Plus tard, d'outils dans l'étude de la géométrie, les groupes en sont devenus le coeur : une géométrie, euclidienne ou non, est l'étude des notions et propriétés qui restent invariantes par un groupe donné de transformations. La géométrie est donc devenue une branche de la théorie des groupes.
lité des mathématiques, mais également en physique, où cette structure algébrique joue un rôle très important dans les développements contemporains, en mécanique, en chimie, en biologie, en linguistique, en psychologie.

Présentation de l'éditeur :

Ce livre s'adresse aux étudiants de licence ou master de mathématiques (L3-M1) et à ceux qui préparent le Capes ou l'agrégation.

Il traite de la théorie des groupes, de la théorie des corps et d'un de leurs points communs essentiels, la théorie de Galois des extensions finies. Chacune de ces théories est présentée en détails, depuis les définitions de base jusqu'à des résultats très élaborés. On y présente de nombreuses applications comme, par exemple, les problèmes de constructions à la règle et au compas (quadrature du cercle, trisection de l'angle, duplication du cube, polygones réguliers, ainsi que la résolution par radicaux des équations polynomiales. Les chapitres sont, pour la plupart, suivis de thèmes de réflexion (TR) et de travaux pratiques de «mathématiques assistées par ordinateurs» (TP). Ces TR et TP permettent d'étudier en profondeur des notions qui illustrent ou complètent le cours.

Daniel Guin a été professeur à l'université Montpellier 2 où il a enseigné, en particulier, l'algèbre à tous les niveaux, de Ll au M2. Ce livre correspond aux cours qu'il a donnés pendant plusieurs années en L3. Il est spécialiste de K-théorie algébrique et d'algèbre homologique.

Thomas Hausberger est maître de conférences à l'université Montpellier 2. Spécialiste de théorie des nombres, il enseigne, entre autres, l'algèbre et l'arithmétique de la licence à la préparation à l'agrégation. Il a oeuvré à la mise en place de travaux pratiques sur ordinateur, pour une approche expérimentale des mathématiques basée sur une «instrumentation raisonnée» du système de calcul formel.

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