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Synopsis
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Why computational homogenization? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Brief historical and recent advances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Industrial applications and use in commercial softwares . . . . . . . . . . 3
1.4 Position of the present monograph as compared to available other
books on that topic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Overview and conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Review of classical FEM formulations and discretizations . . . . . . . . . . . 5
2.1 Steady-state thermal problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Strong form of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Weak forms of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 2D FEM discretization with linear elements . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Assembly of the elementary systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.5 Prescribing Dirichlet conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Linear Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Strong form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Weak form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 2D discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4 Assembly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Conduction properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 The notion of RVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Localization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Averaged quantities and Hill-Mandel lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Averaging theorem: temperature gradient . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Averaging theorem: heat flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.3 Hill-Mandel lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Computation of the effective conductivity tensor . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1 The superposition principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.2 Definition of the effective conductivity tensor . . . . . . . . . . . . 34
v
vi Contents
3.5 Periodic boundary conditions for the thermal problem: numerical
implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Numerical calculation of effective conductivity with 2D FEM . . . . . 39
3.6.1 Transverse effective conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6.2 Computation of the out-of plane properties using a 2D RVE 41
3.7 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Elasticity and thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 Localization problem for elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Averaged quantities and Hill-Mandel lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.1 Averaging theorem: strain .
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