Synopsis
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 What is a time series? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Time series versus iid data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Typical assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Fundamental properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Ergodic property with a constant limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Strict Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Weak Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 Weak stationarity and Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 Ergodic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.6 Sufficient conditions for the a.s. ergodic property with a constant limit. . . . . . . . . . . 26
2.1.7 Sufficient conditions for the L2-ergodic property with a constant limit . .. . . . .. . . 27
2.2 Specific assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Gaussian processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Linear processes in L2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Linear processes with E(X2t ) = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 Multivariate linear processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.5 Invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.6 Restrictions on the dependence structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Defining probability measures for time series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Finite dimensional distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Transformations and equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Conditions on the expected value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Conditions on the autocovariance function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Positive semidefinite functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.2 Spectral distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.3 Calculation and properties of F and f . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Spectral representation of univariate time series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Harmonic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Extension to general processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 Stochastic integrals with respect to Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.2 Existence and definition of Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.3 Interpretation of the spectral representation . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.1 Relationship between ReZ and ImZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.2 Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.3 Overtones . . . . . . . . . .
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