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Synopsis
Number Theory.- 1. Six proofs of the infinity of primes.- 2. Bertrand's postulate.- 3. Binomial coefficients are (almost) never powers.- 4. Representing numbers as sums of two squares.- 5. Every finite division ring is a field.- 6. Some irrational numbers.- Geometry.- 7. Hilbert's third problem: decomposing polyhedra.- 8. Lines in the plane and decompositions of graphs.- 9. The slope problem.- 10. Three applications of Euler's formula.- 11. Cauchy's rigidity theorem.- 12. The problem of the thirteen spheres.- 13. Touching simplices.- 14. Every large point set has an obtuse angle.- 15. Borsuk's conjecture.- Analysis.- 16. Sets, functions, and the continuum hypothesis.- 17. In praise of inequalities.- 18. A theorem of Pólya on polynomials.- 19. On a lemma of Littlewood and Offord.- Combinatorics.- 20. Pigeon-hole and double counting.- 21. Three famous theorems on finite sets.- 22. Cayley's formula for the number of trees.- 23. Completing Latin squares.- 23. The Dinitz problem.- Graph Theory.- 25. Five-coloring plane graphs.- 26. How to guard a museum.- 27. Turán's graph theorem.- 28. Communicating without errors.- 29. Of friends and politicians.- 30. Probability makes counting (sometimes) easy.- About the Illustrations.
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