The Theory of the Imaginary in Geometry (Classic Reprint)
Langue : anglais
Edité par Forgotten Books, 2024
- Livre broché
- Neuf
Vendeur : Forgotten Books, London, Royaume-UniForgotten Books
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Print on Demand. This book delves into the fascinating concept of imaginary geometry, venturing beyond the familiar realm of real points and lines to explore the ethereal world of complex quantities. The author, a renowned expert in the field, meticulously lays the groundwork, guiding readers through the construction of imaginary points, their representation on a real straight line, and their measurement with imaginary lengths. The book then delves into the intricate relationships between imaginary and real points, revealing their intriguing properties. The author demonstrates how the connectors of a pair of conjugate imaginary points are real, how imaginary lines meet real lines, and how imaginary triangles can be categorized into distinct types. With its clear and accessible approach, this book unveils the hidden depths of geometry, inviting readers to expand their understanding of space and shape. It not only presents a cohesive theory of imaginary geometry but also underscores its profound implications for a deeper comprehension of the mathematical landscape. This book is a reproduction of an important historical work, digitally reconstructed using state-of-the-art technology to preserve the original format. In rare cases, an imperfection in the original, such as a blemish or missing page, may be replicated in the book.…
N° de réf. du vendeur 9781330051078_0
- Titre
- The Theory of the Imaginary in Geometry (Classic Reprint)
- Auteur
- J. L. S. Hatton
- Éditeur
- Forgotten Books
- Année de publication
- 2024
- État de l'article
- New
- Type de livre
- print-on-demand item
- Reliure
- Paperback
- Langue
- anglais
- ISBN à 10 chiffres
- 1330051076
- ISBN à 13 chiffres
- 9781330051078
- Catalogues du vendeur
- Geometry
About the Publisher
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Présentation de l'éditeur
Given a real point O and a real constant k, an imaginary point P is defined by the equation OP2 = -k - 2. The two imaginary points P and P' are the double points of an involution having O for center, and ik for parameter. The algebra of imaginaries is now assumed, and a geometry of imaginary distances on a straight line is built upon it. The reader is repeatedly reminded that in themselves there is no difference between real and imaginary points; that differences exist solely in their relations to other points. In the extension to two dimensions both x and ix are plotted on a horizontal line, while x and xy are plotted on a vertical line. Imaginary lines are dotted, and points having one or both coordinates imaginary are enclosed by parentheses, but otherwise the same figures are used for proofs, either by the methods of elementary geometry, or by coordinate methods. In the algebra of segments it is shown that an imaginary distance O'D' can be expressed in the form iOD, wherein OD is a real segment, or at most by OD times some number. Now follows a long development of the extension of cross ratios, etc., to imaginaries. In fact every word of this is found implicitly in any treatment of the invariance of cross ratios under linear fractional transformation. In Chapter II the conic with a real branch is introduced, beginning with involutions of conjugate points on lines having imaginary points on the conic. If the coefficients in the equation of a circle are real, the usual graph of x2 + y2 = a2 for real x and real y is followed by replacing y by iy, then proceeding as before. The former locus is called the (1, 1) branch, and the latter the (1, i) branch of the circle. Similarly, it has a (i, 1) branch, and another, (i, i) , but the latter has no graph. This idea is applied in all detail to ellipses, hyperbolas, and parabolas; in the case of the central conies it is also followed by replacing rectangular coordinates by a pair of conjugate diameters. The ordinary theorems of poles and polars, and the theorems of Pascal, Brianchon, Desargues, Carnot are shown to apply. Indeed, after having established the applicability of cross ratios in the earlier chapters, all these proofs can be applied in the same manner as to reals, without changing a word…. —An excerpt from Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 27 [1921]
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